Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線和交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，，成等比數(shù)列，求的值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的普通方程是：，曲線的直角坐標(biāo)方程為：； （2）

【解析】

（1）根據(jù)參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的原則進(jìn)行化簡即可得到結(jié)果；（2）利用在上，可寫出直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式；將參數(shù)方程代入的普通方程，利用的幾何意義可知：，，；根據(jù)，，成等比數(shù)列，結(jié)合韋達(dá)定理可得到關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.

（1）由題意得：曲線的普通方程是：

曲線的直角坐標(biāo)方程為：

（2）易知在上 可設(shè)直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）

將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，可得：

，整理可得：

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是，則，，

，

又，，成等比數(shù)列

則

即：，解得：