【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上，且直線平面，求線段的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，再標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的應(yīng)用即可得證；

（2）求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，再利用數(shù)量積公式求解即可；

（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使平面，由求解即可.

證明：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，

則，，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則由，得，取，得.

，，

又平面，

平面.

（2）解：由（1）知是平面的一個(gè)法向量，

又是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，,

故二面角的平面角的余弦值為.

（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使平面，

設(shè)，

則，

，，，

由得，

解得，

，

則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】條形碼是由一組規(guī)則排列的條、空及其對(duì)應(yīng)的代碼組成，用來(lái)表示一定的信息，我們通常見的條形碼是“”通用代碼，它是由從左到右排列的個(gè)數(shù)字（用，，…，表示）組成，這些數(shù)字分別表示前綴部分、制造廠代碼、商品代碼和校驗(yàn)碼，其中是校驗(yàn)碼，用來(lái)校驗(yàn)前個(gè)數(shù)字代碼的正確性．圖（1）是計(jì)算第位校驗(yàn)碼的程序框圖，框圖中符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)（例如）．現(xiàn)有一條形碼如圖（2）所示（），其中第個(gè)數(shù)被污損，那么這個(gè)被污損數(shù)字是（ ）

　　

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，梯形中，，矩形所在的平面與平面垂直，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若為線段上一點(diǎn)，直線與平面所成的角為，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下表是我省某地區(qū)2012年至2018年農(nóng)村居民家庭年純收入（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

年純收入

2

3

3.5

4

4.5

5

6

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2012年至2018年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭年純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年農(nóng)村居民家庭年純收入（結(jié)果精確到0.1）。

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，記

（1）證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）記的零點(diǎn)為，，若在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，判斷與的大小，并給出對(duì)應(yīng)的證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“既要金山銀山，又要綠水青山”。某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為米的半圓形花圓中設(shè)計(jì)一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點(diǎn)（與不重合），沿修一條直線段小路，在路的兩側(cè)（注意是兩側(cè)）種植綠化帶；再沿弧修一條弧形小路，在小路的一側(cè)（注意是一側(cè)）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計(jì)。

（1）設(shè)（弧度），將綠化帶的總長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；

（2）求綠化帶的總長(zhǎng)度的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（1）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線，交于點(diǎn)，，已知點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù),

（Ⅰ）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)b的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[1，e]，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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