如圖已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸是短軸的2倍且過點(diǎn),平行于的直線在y軸的截距為,且交橢圓與兩點(diǎn),

(1)求橢圓的方程;(2)求的取值范圍;(3)求證:直線與x軸圍成一個(gè)等腰三角形,說明理由.
(1);(2);(3)詳見解析

試題分析:直線和圓錐曲線位置關(guān)系問題,一般要將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立,同時(shí)要注意其隱含條件(),得關(guān)于某一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程,利用韋達(dá)定理建立參數(shù)的等量關(guān)系或者不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的值或者取值范圍,(1)由橢圓焦點(diǎn)在軸,先設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知得關(guān)于 ,的方程組,解,;(2)注意條件“平行于的直線交橢圓與兩點(diǎn)”,設(shè)直線方程為y=x+m,與橢圓聯(lián)立,得關(guān)于的一元二次方程,,得的取值范圍(注意);(3)只需證明斜率互為相反數(shù)先設(shè),則,,結(jié)合韋達(dá)定理證明;
試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為(a>b>0)
    ∴橢圓方程;
(2)∵直線∥DM且在y軸上的截距為m,∴y=x+m

與橢圓交于A、B兩點(diǎn)∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0-2<m<2(m≠0);
(3)設(shè)直線MA、MB斜率分別為k1,k2,則只要證:k1+k2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則k1=,k2=
由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
而k1+k2=+=(*)
又y1=x1+m  y2=x2+m
∴(*)分子=(x1+m-1)(x2-2)+(x2+m-1)(x1-2)
=x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)
=2m2-4+(m-2)(-m)-4(m-1)=0
∴k1+k2=0,證之.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知圓,若焦點(diǎn)在軸上的橢圓 過點(diǎn),且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,與圓交于兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,求弦長(zhǎng);
(3)求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),與圓分別交于兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).已知為等腰三角形.

(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),是直線上的點(diǎn),滿足,求點(diǎn)的軌跡
方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

以點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,)。
(I)求橢圓C的方程;
(II)過P點(diǎn)分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A,B,M,N,求證: 使得

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn),且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于,垂足為點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(3)設(shè)軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)上(也不重合),且滿足,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過橢圓的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,分別交橢圓于四點(diǎn),則四邊形面積的最大值與最小值之差為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

F1,F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過左焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率是(   )
A.B.C.2D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離與到定點(diǎn)的距離的比值是.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,并說明方程表示的曲線;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
①若是圓上任意一點(diǎn),過作曲線的切線,切點(diǎn)是,求的取值范圍;
②已知,是曲線上不同的兩點(diǎn),對(duì)于定點(diǎn),有.試問無論,兩點(diǎn)的位置怎樣,直線能恒和一個(gè)定圓相切嗎?若能,求出這個(gè)定圓的方程;若不能,請(qǐng)說明理由.

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