Question

已知數(shù)列{a_n}，且x＝是函數(shù)f(x)＝a_n－1x³－3[(t＋1)a_n－a_n＋1] x＋1(n≥2)的一個(gè)極值點(diǎn)．?dāng)?shù)列{a_n}中a₁＝t，a₂＝t²(t＞0且t≠1) ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n＝2(1－)，當(dāng)t＝2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；
（3）若c_n＝，證明：( n∈N^﹡)．

Answer 1

解：（1）f ′(x)＝3an－1x2－3[(t＋1)an－an＋1]，
所以f ′()＝3an－1t－3[(t＋1)an－an＋1]＝0．
整理得：an＋1－an＝t(an－an－1) ．…………………………………………2分
當(dāng) t＝1時(shí)，{an－an－1}是常數(shù)列，得；
當(dāng) t≠1時(shí){an－an－1}是以 a2－a1＝t2－t為首項(xiàng)， t為公比的等比數(shù)列，
所以 an－an－1＝(t2－t)·t n－2＝(t－1)·t n－1．
方法一：由上式得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝(t－1)(tn－1＋tn－2＋…＋t)，
即 an－a1＝(t－1)·＝tn－t，
所以 an＝tn(n≥2) ．
又，當(dāng)t＝1時(shí)上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ．………………………4分
方法二：由上式得： an－tn＝an－1－tn－1，
所以{an－tn}是常數(shù)列，an－tn＝a1－t＝0 an＝tn(n≥2) ．
又，當(dāng)t＝1時(shí)上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ．
（2）當(dāng)t＝2， bn＝＝2－．
∴Sn＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－
＝2n－2(1－)＝2n－2＋2·
由Sn＞2010，得
2n－2＋2()n＞2010， n＋()n＞1006，
當(dāng)n≤1005時(shí)， n＋()n＜1006，
當(dāng) n≥1006時(shí)， n＋()n＞1006，
因此 n的最小值為1006．………………………………………………8分
（3）cn＝且c1＝，所以
．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181856003273.gif" style="vertical-align:middle;" />＝＝
＝≥，
所以＝．
從而原命題得證．…………………………………………………………14分

略