Question

設(shè){a_n}等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列．若a₁＜a₂，b₁＜b₂，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，4b₃=a₃²，則數(shù)列{b_n}的公比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可知d＞0，由等比中項(xiàng)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得關(guān)于d的方程，解之可得d，代入q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2，化簡(jiǎn)可得．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁＜a₂可知d＞0，
由等比中項(xiàng)可得b₂²=b₁b₃，即a₂⁴=a₁²a₃²，
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得（a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²，
展開可得a₁⁴+4a₁³d+6a₁²d²+4a₁d³+d⁴=a₁⁴+4a₁³d+4a₁²d²，
化簡(jiǎn)可得d²+4a₁d+2a₁²=0，解得d=-2a₁±

2

|a₁|，
當(dāng)a₁≥0時(shí)，可得d=-2a₁±

2

a₁＜0，與d＞0矛盾，故舍去，
當(dāng)a₁＜0時(shí)，可得d=-2a₁±

2

a₁＞0，滿足題意，
當(dāng)d=-2a₁+

2

a₁時(shí)，代入可得公比q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2=3-2

2

，滿足題意，
當(dāng)d=-2a₁-

2

a₁時(shí)，代入可得公比q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2=3+2

2

，不滿足題意，
綜上可得數(shù)列{b_n}的公比為：3-2

2

故答案為：3-2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬中檔題．