Question

設是定義在的可導函數(shù)，且不恒為0，記．若對定義域內的每一個，總有，則稱為“階負函數(shù)”；若對定義域內的每一個，總有，
則稱為“階不減函數(shù)”（為函數(shù)的導函數(shù)）．
（1）若既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數(shù)”，如果存在常數(shù)，使得恒成立，試判斷是否為“2階負函數(shù)”？并說明理由．

Answer 1

(1) ;(2)詳見解析.

解析試題分析：(1)利用在上單調遞增，借助求導的方法進行探究；（2）通過反證法進行證明.本
題關鍵在于判斷 在時無上界，再用單調性即可證出結論．
試題解析：（1）依題意，在上單調遞增，
故 恒成立，得，                         2分
因為，所以．                                              4分
而當時，顯然在恒成立，
所以．                                                         6分
（2）①先證：
若不存在正實數(shù)，使得，則恒成立．               8分
假設存在正實數(shù)，使得，則有，
由題意，當時，，可得在上單調遞增，
當時，恒成立，即恒成立，
故必存在，使得（其中為任意常數(shù)），
這與恒成立（即有上界）矛盾，故假設不成立，
所以當時，，即；                            13分
②再證無解：
假設存在正實數(shù)，使得，
則對于任意，有，即有，
這與①矛盾，故假設不成立，
所以無解，
綜上得，即，
故所有滿足題設的都是“2階負函數(shù)”．                     16分
考點：1.導數(shù)的應用；2.新定義問題；3.反證法.