Question

（文科）點(diǎn)M是圓x²+y²=4上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD垂直于x軸，垂足為D，P為線段MD的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，若直線l：y=-ex+m（其中e為曲線C的離心率）與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A與B且

OA

•

OB

=2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意點(diǎn)M是圓x²+y²=4上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD垂直于x軸，垂足為D，P為線段MD的中點(diǎn)，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)的關(guān)系，用中點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后再代入圓的方程求出點(diǎn)P的軌跡方程
（2）由點(diǎn)P的軌跡是橢圓x²+4y²=4，知e=

3

2

．由直線l：y=-

3

2

x+m與曲線C：x²+4y²=4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A與B，知x2-

3

mx+m2-1=0有兩個(gè)解，所以-2＜m＜2．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

3

m，x₁x₂=m²-1，由

OA

•

OB

=2，知x₁x₂+y₁y₂=2，由此能求出m．

解答：解：（1）由題意，令P（x，y），
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：D（x，0），M（x，2y），
∵點(diǎn)M是圓x²+y²=4上的一個(gè)動點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+4y²=4．
（2）由（1）點(diǎn)P的軌跡是橢圓x²+4y²=4，
∴e=

3

2

．
∵直線l：y=-

3

2

x+m與曲線C：x²+4y²=4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A與B，
∴

y=- 3 2 x+m x2+4y2=4

⇒x2-

3

mx+m2-1=0有兩個(gè)解，
∴△=-m²+4＞0，∴-2＜m＜2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

3

m，x₁x₂=m²-1，
∵

OA

•

OB

=2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴x₁x₂+y₁y₂=2，
∴5m²=7，∴m=±

35

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵點(diǎn)有二，一是熟練掌握代入法求軌跡方程，二是合理進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．本題考查了推理判斷的能力及代入法求軌跡方程技巧．