(文科做)已知圓O:x2+y2=4,,點(diǎn)M(1,a)且a>0.
(I )若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線/與圓O相切,求a的值及直線l的斜率,
(II )若a=
2
,AC、BD是過(guò)點(diǎn)M的兩條弦.
①當(dāng)弦AC最短、弦BD最長(zhǎng)時(shí),求四邊形ABCD的面積;
②若
OP
=
OA
+
OC
,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
分析:(I)由題意,過(guò)M有且僅有一條直線l與圓O相切可知,點(diǎn)M(1,a)在圓上,把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入到圓的方程,結(jié)合a>0可求a,進(jìn)而可求切線方程y-
3
=k(x-1),由直線與圓相切可知,圓心(0,0)到直線的距離d=
|
3
-k|
1+k2
=1
,可求
(II)當(dāng)a=
2
時(shí),M(1,
2
)在圓x2+y2=4內(nèi)
①由于圓內(nèi)弦最長(zhǎng)的即是圓的直徑即BD為直徑,而AC是過(guò)M且與BD垂直的弦,此時(shí)DB=4,圓心(0,0)到直線AC的距離d=
3
,,從而可得,AC=2,S=
1
2
AC•BD

②由|
OA
|=|
OC
|=2
OP
=
OA
+
OC
可知,以
OA
,
OB
為鄰邊做平行四邊形OAPC,則可得OAPC為菱形,由菱形的對(duì)角線的性質(zhì)可知AC,OP互相垂直平分,且M在AC上
由垂直平分線的性質(zhì)可知,MP=MO=
3
,P是以M(1,
2
)為圓心,以
3
為半徑的圓,從而可求
解答:解:(I)由題意,過(guò)M有且僅有一條直線l與圓O相切可知,點(diǎn)M(1,a)在圓上
∴1+a2=4
∵a>0∴a=
3

則此時(shí)所做的切線方程為y-
3
=k(x-1)即kx-y+
3
-k=0

由直線與圓相切可知,圓心(0,0)到直線的距離d=
|
3
-k|
1+k2
=1

k=
3
3

(II)當(dāng)a=
2
時(shí),M(1,
2
)在圓x2+y2=4內(nèi)
①由于圓內(nèi)弦最長(zhǎng)的即是圓的直徑即BD為直徑,而AC是過(guò)M且與BD垂直的弦
此時(shí)DB=4,圓心(0,0)到直線AC的距離d=
3

從而可得,AC=2
S=
1
2
AC•BD
=
1
2
×2×4=4

②∵|
OA
|=|
OC
|=2
,
OP
=
OA
+
OC

∴以
OA
OB
為鄰邊做平行四邊形OAPC,則可得OAPC為菱形,
由菱形的性質(zhì)可知AC,OP互相垂直平分,且M在AC上
由垂直平分線的性質(zhì)可知,MP=MO=
3

P是以M(1,
2
)為圓心,以
3
為半徑的圓,其方程為(x-1)2+(y-
2
)
2
=3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用,利用點(diǎn)到直線的距離與半徑的關(guān)系求解圓的切線,圓的弦的性質(zhì)及向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,屬于綜合試題
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(文科做)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓心為M的圓的參數(shù)方程為
x=2+
2
cosθ
y=2+
2
sinθ
(θ∈R)
,點(diǎn)N為圓M上的任意一點(diǎn),則<
OM
,
ON
>的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

(文科做)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓心為M的圓的參數(shù)方程為
x=2+
2
cosθ
y=2+
2
sinθ
(θ∈R)
,點(diǎn)N為圓M上的任意一點(diǎn),則<
OM
,
ON
>的取值范圍是( 。
A.(0,
π
6
)
B.(0,
π
6
]
C.[0,
π
6
]
D.[
π
6
π
4
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

(文科做)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓心為M的圓的參數(shù)方程為
x=2+
2
cosθ
y=2+
2
sinθ
(θ∈R)
,點(diǎn)N為圓M上的任意一點(diǎn),則<
OM
,
ON
>的取值范圍是( 。
A.(0,
π
6
)
B.(0,
π
6
]
C.[0,
π
6
]
D.[
π
6
,
π
4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

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(I )若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線/與圓O相切,求a的值及直線l的斜率,
(II )若a=
2
,AC、BD是過(guò)點(diǎn)M的兩條弦.
①當(dāng)弦AC最短、弦BD最長(zhǎng)時(shí),求四邊形ABCD的面積;
②若
OP
=
OA
+
OC
,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

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