Question

一個正方形被等分成九個相等的小正方形，將中間的一個正方形挖掉如圖（1）；再將剩余的每個正方形都分成九個相等的小正方形，并將中間一個挖掉，得圖（2）；如此繼續(xù)下去…
（1）第三個圖中共挖掉多少個正方形；
（2）設(shè)原正方形邊長為1，則第n個圖中被挖掉的所有小正方形的面積和為多少？

Answer 1

分析：（1）通過研究前后兩個圖形挖去正方形個數(shù)的變化規(guī)律，從而求出答案；
（2）第圖（1）到第圖n被挖掉的正方形的邊長及個數(shù)分別組成等比數(shù)列{a_n}，由此可求第n個圖中被挖掉的所有小正方形的面積和．

解答：解：（1）由題意，第三個圖中共挖掉1+8+8²=73個正方形；
（2）第圖（1）到第圖n被挖掉的正方形的邊長組成等比數(shù)列{a_n}，且a_n=(

1

3

)n，
其個數(shù)組成等比數(shù)列{b_n}，且b_n=(

1

8

)n-1
∴第n個圖中被挖掉的所有小正方形的面積和為S=

1

9

+

8

92

+…+

8n-1

9n

=1-(

8

9

)n

點(diǎn)評：本題主要考查圖形規(guī)律下的數(shù)列問題，關(guān)鍵是尋找規(guī)律，轉(zhuǎn)化為運(yùn)用數(shù)列知識求解．