【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)P（ ，m）到準(zhǔn)線(xiàn)的距離與到原點(diǎn)O的距離相等，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）若A為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)O），點(diǎn)A處的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B，過(guò)A作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)E．試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結(jié)論．

【答案】
（1）解：拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（ ，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=﹣ ，

由題意點(diǎn) 到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為|PO|，

由拋物線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為|PF|，

即有|PO|=|PF|，即點(diǎn) 在線(xiàn)段OF的中垂線(xiàn)上，

則 = ，解得p=3，則拋物線(xiàn)的方程為y2=6x


（2）解：四邊形AEBF為菱形．

證明：拋物線(xiàn)y2=6x的焦點(diǎn)為F（ ，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=﹣ ，

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)點(diǎn) 在x軸的上方，

由y2=6x，兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得，2yy′=6，即y′= ，

可得點(diǎn)A處的切線(xiàn)的斜率為 ，

則點(diǎn)A處切線(xiàn)的方程為 ，

令上式中y=0，得 ，

可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，又 ，

所以 ，

所以 ，所以FA∥BE，又AE∥FB，

故四邊形AEBF為平行四邊形，

再由拋物線(xiàn)的定義，得AF=AE，

所以四邊形AEBF為菱形．


【解析】（1）求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義可得點(diǎn) 在線(xiàn)段OF的中垂線(xiàn)上，可得p=3，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的方程；（2）四邊形AEBF為菱形．由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)點(diǎn) 在x軸的上方，求出拋物線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率和切線(xiàn)的方程，令y=0，求得B的坐標(biāo)，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由向量相等即可得到四邊形的形狀．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=a，a2=b，且an2=an﹣1an+1+λ（n≥2，n∈N），其中λ∈R．
（1）若λ=0，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是λ=（b﹣a）2；
（3）若數(shù)列{bn}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且對(duì)任意的n∈N* ， 滿(mǎn)足bn﹣an=1，求證：數(shù)列{（﹣1）nanbn}的前2n項(xiàng)和為常數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，an+1bn=Sn+1（n∈N）．
（1）若a1=1，bn= ，求a4的值；
（2）若{an}是公比為q的等比數(shù)列，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得{bn+λ}為等比數(shù)列；
（3）若{an}的各項(xiàng)都不為零，{bn}是公差為d的等差數(shù)列，求證：a2 ， a3 ， …，an…成等差數(shù)列的充要條件是d= ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)滿(mǎn)足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?

(1)被4整除;

(2)比21 034大的偶數(shù);

(3)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知空間三點(diǎn)，，

（1）求以為邊的平行四邊形的面積;

（2）若向量a分別與垂直，且|a|=，求a的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從1，2，3，4，5中隨機(jī)取出兩個(gè)不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn),，在拋物線(xiàn)上，的重心與此拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合（如圖）

（I）寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（II）求線(xiàn)段中點(diǎn)的坐標(biāo)；

（III）求弦所在直線(xiàn)的方程

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，橢圓C 與y 軸交于A(yíng)，B 兩點(diǎn)，且|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓C 的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè)．直線(xiàn)PA，PB與直線(xiàn)x=4分別交于M，N兩點(diǎn)．若以MN為直徑的圓與x 軸交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及|EF|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex＋2(x2－3)．

(1)求曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)求函數(shù)y＝f(x)的極值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案