Question

如圖，以

3

2

為離心率的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A和B，點P是橢圓位于x軸上方的一點，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓位于x軸下方的一點，直線AP、BQ的斜率分別為k₁，k₂，若k₁=7k₂，設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S₁，S₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵以

3

2

為離心率的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A和B，
點P是橢圓位于x軸上方的一點，且△PAB的面積最大值為2，
∴

c a = 3 2 ab=2 a2=b2+c2

，（2分）
解得a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y²=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，
得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，（5分）
△=4m²t²-4m²t²-16t²+16m²+64=-16t²+16m²+64，
∵A（-2，0），B（2，0），直線AP、BQ的斜率分別為k₁，k₂，
∴k₁=

y1

x1+2

，k₂=

y2

x2-2

，
由k₁=7k₂，得

y1

x1+2

=

7y2

x2-2

，
∴

y12(x2-2)2

y12(x1+2)2

=49，∴

(1- x12 4 )(x2-2)2

(1- x22 4 )(x1+2)

=49，（7分）
∴

(2-x1)(2-x2)

(2+x1)(2+x2)

=49，∴12x₁x₂+25（x₁+x₂）+48=0，①
x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=

4(t2-m2)

m2+4

，
x₁+x₂=（my₁+t）+（my₂+t）=

8t

m2+4

，
代入①得6t²+25t+24=0，得t=-

3

2

，或t=-

8

3

（是增根，舍去），（9分）
∴

y1+y2= 3m m2+4 y1y2= 4 m2+4

，（10分）
所以|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

16m2+28

(m2+4)2

≤

16

9

，
當m²=

1

2

時最大值．（11分）
∴S₁-S₂=

1

2

×3×|y1-y2|≤2，
∴S₁-S₂的最大值為2．（12分）