已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周長為12，動點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)P、Q為E上兩點，
OP
•
OQ
=0，過原點O作直線PQ的垂線，垂足為M，證明|OM|為定值．
（1）∵|AB|+|AC|+|BC|=12，|BC|=4，
∴|AB|+|AC|=8＞4，
∴A的軌跡為橢圓，且2a=8，2c=4，
∴a2=16，c2=4，b2=12，
∵A，B，C不能共線，∴A點不能在x軸上，
∴曲線E的方程為
x2
16
+
y2
12
=1(y≠0)…（5分）
（2）證明：設(shè)直線PQ的方程為x=ny+m，
由
x=ny+m
x2
16
+
y2
12
=1
得（4n2+3）y2+8mny+4m2-48=0，
∴y1+y2=-
8mn
4n2+3
，y1•y2=
4m2-48
4n2+3
…（2分）
∴x1x2=(ny1+m)(ny2+m)=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2=
3m2-48n2
4n2+3
…（1分）
∵
OP
•
OQ
=0，∴x1x2+y1•y2=0，
∴
3m2-48n2
4n2+3
+
4m2-48
4n2+3
=0，
∴7m2-48n2-48=0…（1分）
∵|OM|為點O（0，0）到直線PQ：x-ny-m=0的距離，
∴|OM|=
|-m|
n2+1
，
∴|OM|2=
m2
n2+1
…（1分）
由7m2-48n2-48=0得m2=
48
7
(n2+1)…（1分）
∴|OM|2=
48
7
(n2+1)
n2+1
=
48
7
，
∴|OM|為定值…（1分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，以
3
2
為離心率的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A和B，點P是橢圓位于x軸上方的一點，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓位于x軸下方的一點，直線AP、BQ的斜率分別為k1，k2，若k1=7k2，設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S1，S2，求S1-S2的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的焦點在x軸上，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點．若橢圓的長軸長是6，且cos∠OFA=
2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求點R（0，1）與橢圓C上的點N之間的最大距離；
（Ⅲ）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點P（-3，0），交y軸于點M．若
MQ
=2
QP
，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知焦點在x軸上的橢圓
x2
20
+
y2
b2
=1(b＞0)經(jīng)過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m，使△ABM為直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標原點，F(xiàn)是拋物線E：y2=4x的焦點．
（Ⅰ）過F作直線l交拋物線E于P，Q兩點，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）過點T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點，且M，N分別為線段AB，CD的中點，求△TMN的面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的方程為x2=4y，直線y=2與拋物線C相交于M，N兩點，點A，B在拋物線C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為
2
；
（Ⅱ）若直線AB的斜率為
2
，求證點N到直線MA，MB的距離相等．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF2周長為4
5
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，若△APB的面積為
40
9
，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以雙曲線C2的另一焦點F1為圓心的圓M與直線y=
3
x相切，圓N：（x-2）2+y2=1．過點P（1，
3
）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2，設(shè)l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，問：
s
t
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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