Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，公差d≠0，且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){ 

bn

an

 }是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的性質(zhì)求出a₁=3，d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知得

bn

2n+1

=3^n-1，從而b_n=（2n+1）•3^n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，公差d≠0，
且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，
∴

a1+2d+5a1+ 5×4 2 d=42 (a1+3d)2=a1(a1+12d) d≠0

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵{

bn

an

}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴

bn

2n+1

=3^n-1，即b_n=（2n+1）•3^n-1，
∴T_n=3•3⁰+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1，①
3T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n+1）•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）•3ⁿ
=3-3+3^n-1-（2n+1）•3ⁿ
=3^n-1-（2n+1）•3ⁿ，
∴T_n=

2n+1

2

•3n-

3n-1

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．