Question

已知直線y=kx-2與拋物線y²=8x交于A、B兩個不同的點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，且|AF|、4、|BF|成等差數(shù)列，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線與直線方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得x₁+x₂，由|AF|、4、|BF|成等差數(shù)列，及拋物線的定義，得x₁+x₂，從而得到關(guān)于k的等量關(guān)系，據(jù)此關(guān)系式即可求得k的值．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立y²=8x與y=kx-2，消去y，整理得k²x²-（4k+8）x+4=0，
由△=（4k+8）²-16k²=64k+64＞0，得k＞-1，
由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=

4k+8

k2

．…①
∵|AF|、4、|BF|，∴|AF|+|BF|=2×4=8，
由拋物線的定義，得|AF|+|BF|=（x₁+2）+（x₂+2），
∴x₁+x₂=4，
結(jié)合①式得

4k+8

k2

=4，解得k=-1（舍去），或k=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線的相交關(guān)系，拋物線的定義，等差中項(xiàng)的性質(zhì)等，關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理得到關(guān)于k的等量關(guān)系．值得注意的是，韋達(dá)定理的使用前提是：△≥0，而本題又要求△≠0，故常對求得的參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)．