Question

已知橢圓的左右焦點分別為，點為短軸的一個端點，.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過右焦點，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為.
求證: 為定值.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）由點為短軸的一個端點可知，在直角三角形中已知，從而可得。因為，所以.（2）設(shè)過點的直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程，設(shè)點即為方程的兩根，可得根與系數(shù)的關(guān)系。由斜率公式可分別求得直線和直線的斜率，根據(jù)點斜式可得兩直線方程。直線和直線分別與直線聯(lián)立，求交點。根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得點坐標(biāo)。根據(jù)斜率公式求。即可證得為定值。
解：（1）由條件可知，                                     2分
故所求橢圓方程為.                                 4分
（2）設(shè)過點的直線方程為：.                     5分
由可得：           6分
因為點在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，即恒成立.
設(shè)點，則
.                        8分
因為直線的方程為：，
直線的方程為：，                    9分
令，可得，，
所以點的坐標(biāo).                       10分
直線的斜率為


             12分

                            
所以為定值.                                    13分