Question

如圖，設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足

BF1

=

F1F2

，且

AB

•

AF2

=0．
（1）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線l₁：x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)B（x₀，0），由已知條件推導(dǎo)出x0=-

b2

c

，b²=3c²，從而得到a=2c，再由

|-c-3|

2

=2c，能求出橢圓C的方程．
（2）由（1）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

解答： 解：（1）設(shè)B（x₀，0），∵F₂（c，0），A（0，b），
∴

AB

=(x0，-b)，

AF2

=(c，-b)，
∵

AB

•

AF2

=0，∴cx0+b2=0，∴x0=-

b2

c

，
∵

BF1

=

F1F2

，∴F₁為BF₂中點，
∴-

b2

c

+c=-2c，b²=3c²，
從而a²=4c²，∴a=2c，
∵

AB

•

AF2

=0，∴

AB

⊥

AF2

，
∴△ABF₂的外接圓的圓心為F₁（-c，0），半徑r=

1

2

|F₂B|=2c，
又直線l2 ：x-

3

y-3=0與△ABF₂的外接圓相切，
∴

|-c-3|

2

=2c，解得c=1，∴a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
∵菱形的對角線互相垂直，∴（

PM

+

PN

）•

MN

=0，
∴（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
∵y2 -y1=k(x2-x1)≠0，
∴（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0，
∴

8k2

3+4k2

-2m+k2(

8k2

3+4k2

-2)=0，
由題意知k∈R且k≠0，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∴0＜m＜

1

4

，
∴存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用．