Question

已知△ABC是銳角三角形，且sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）=

1

2

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）求tanAtanC的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用兩角差的正余弦公式展開，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求出cosB，然后根據(jù)△ABC是銳角三角形，求出B；（Ⅱ）根據(jù)內(nèi)角和定理求出A+C，利用兩角和的正切公式求tan（A+C），得到關(guān)于tanA，tanC和tanAtanC的關(guān)系式，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）=

1

2

，且B為銳角，
變形得：（sinBcos

π

6

-cosBsin

π

6

）（cosBcos

π

3

+sinBsin

π

3

）
=（

3

2

sinB-

1

2

cosB）（

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=

3

4

sin²B-

1

4

cos²B=

3

4

（1-cos²B）-

1

4

cos²B
=

3

4

-cos²B=

1

2

，
整理得：cos²B=

1

4

，即cosB=

1

2

，
則B=

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，
又△ABC是銳角三角形，所以tanA＞0，tanC＞0，
而tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，
所以

3

tanAtanC-

3

=tanA+tanC≥2

tanAtanC

，
即

3

tanAtanC-

3

≥2

tanAtanC

，
得

tanAtanC

≥

3

或

tanAtanC

≤-

3

3

（舍），
∴tanAtanC≥3，等號僅當tanA=tanC=

3

，即A=C=

π

3

時成立．
∴tanAtanC的最小值為3．

點評：本題考查了三角恒等變換及求最值問題，綜合性較強．解題的關(guān)鍵是明確變形的方向，選擇恰當?shù)墓�式對式子進行適當?shù)淖冃�，在求最值時可以利用基本不等式，注意等號成立的條件．