【題目】如圖1,在△ABC中, , ,點D是BC的中點. ( I)求證: ;
( II)直線l過點D且垂直于BC,E為l上任意一點,求證: 為常數,并求該常數;
( III)如圖2,若 ,F為線段AD上的任意一點,求 的范圍.
【答案】(I)證明:延長AD到A1使得AD=DA1 , 連接CA1 , A1B, ∵D是BC的中點,
∴四邊形ACA1B是平行四邊形,
∴ = + ,
∵ ;
(II)證明:∵ = + ,
∴ ( ﹣ )=( + )( ﹣ )= + ,
∵DE⊥BC,∴ =0,
∵ = ( )= ,
∴
(III)解:△ABC中,| |=2,| |=1,cosA= , ,
∴| |= = ,
同理 + =2 ,
∴ ( + )= 2 =| || |,
設| |=x,則| |= ﹣x(0 ),
∴ ( + )=2x( ﹣x)≤2 =1,當且僅當x= 時取等號,
∴ ( + )∈(0,1].
【解析】( I)延長AD到A1使得AD=DA1 , 連接CA1 , A1B,證明四邊形ACA1B是平行四邊形,即可證明: ;( II)證明 ( ﹣ )=( + )( ﹣ )= + ,即可得出: 為常數,并求該常數;(III)確定 ( + )=2x( ﹣x),利用基本不等式,求 的范圍.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生,將其數學成績(均為整數)分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求分數在[70,80)內的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)用分層抽樣的方法在分數段為[60,80)的學生中抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2人,求至多有1人在分數段[70,80)的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知在多面體SP﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,AB=PC=1,AD=AS=2,且AS∥CP且AS⊥面ABCD,E為BC的中點.
(1)求證:AE∥面SPD;
(2)求三棱錐S-BPD的體積。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4﹣2x),a>0且a≠1.
(1)求函數y=f(x)﹣g(x)的定義域;
(2)求使不等式f(x)>g(x)成立的實數x的取值范圍;
(3)求函數y=2f(x)﹣g(x)﹣f(1)的零點.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α,β,則cos2α+cos2β=1.類比到空間中一個正確命題是:在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α,β,γ,則有 .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|1<x<4},B={x|x≤3m﹣4或x≥8+m}(m<6)
(1)若m=2,求A∩(UB)
(2)若A∩(UB)=,求實數m的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】等比數列中, 分別是下表中第行中的某一個數,且中任何兩個數不在下表的同一列中.
第列 | 第列 | 第列 | |
第行 | |||
第行 | |||
第行 |
(1)求數列的通項公式;
(2)設,求數列的前項和.
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