Question

【題目】長(zhǎng)方形中，，是中點(diǎn)（圖1）.將沿折起，使得（圖2）在圖2中:

（1）求證:平面平面；

（2）在線段上是否存點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析

【解析】

(1)利用勾股定理與線面垂直的性質(zhì)證明平面即可.

(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過作平面的垂線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè),再根據(jù)二面角的向量方法,分別求解面的法向量,再根據(jù)法向量的夾角求解即可.

（1）在長(zhǎng)方形中,連結(jié),因?yàn)?/span>,是中點(diǎn),

所以,從而,

所以

因?yàn)?/span>,,

所以平面.

因?yàn)?/span>平面,

所以平面平面.

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面,交線是,

所以在面過垂直于的直線必然垂直平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過作平面的垂線為軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

則,,,.設(shè),則.

設(shè)是平面的法向量,

則,即,取,

平取面的一個(gè)法向量是.

依題意,

即,解方程得,

因此在線段上存點(diǎn),使得二面角的余弦值為.