Question

已知P（x₀，8）是拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點，F(xiàn)是C的焦點，以PF為直徑的圓M與x軸的另一個交點為Q（8，0）．
（Ⅰ）求C與M的方程；
（Ⅱ）過點Q且斜率大于零的直線l與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標原點，△AOB的面積為

64

3

13

，證明：直線l與圓M相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直徑所對的圓周角為直角得到PQ⊥FQ，從而得到P的坐標，代入拋物線方程求出p的值，則拋物線方程可求，其焦點坐標可求，由中點坐標公式求出M的坐標，由焦半徑公式求出直徑，則圓M的方程可求；
（Ⅱ）由題意設(shè)出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B的縱坐標的和與積，代入三角形的面積公式后求出直線的斜率，則直線方程可求，由M到直線的距離等于半徑證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：如圖，
PF為圓M的直徑，則PQ⊥FQ，即x₀=8，
把P（8，8）代入拋物線C的方程求得p=4，
即C：y²=8x，F(xiàn)（2，0）；
又圓M的圓心是PF的中點M（5，4），半徑r=5，
則M：（x-5）²+（y-4）²=25．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為y=k（x-8）（k＞0），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
由

y2=8x y=k(x-8)

，得y2-

8

k

y-64=0，則yA+yB=

8

k

，   yA•yB=-64．
設(shè)△AOB的面積為S，則

S= 1 2 |OQ|•|yA-yB|=4 (yA+yB)2-4yA•yB =4 64 k2 +256 =32 1 k2 +4

=

64

3

13

．
解得：k2=

9

16

，又k＞0，則k=

3

4

．
∴直線l的方程為y=

3

4

(x-8)，即3x-4y-24=0．
又圓心M（5，4）到l的距離d=

|15-16-24|

5

=5，故直線l與圓M相切．

點評：本題考查了曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查了學(xué)生的計算能力，是高考試題中的壓軸題．