Question

已知命題p：?x0∈R，x02+2ax0-8-6a=0，命題q：?x∈[1，2]，

1

2

x2-lnx+k-a≥0
（1）若當(dāng)k=0時，命題p和q都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若“命題q為真命題”是“命題p為假命題”的必要不充分條件，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）命題p說明方程x²+2ax-8-6a=0有根，根據(jù)判別式大于等于0，求出a的范圍，命題qq：?x∈[1，2]，

1

2

x2-lnx+k-a≥0將其轉(zhuǎn)化為f(x)=

1

2

x2-lnx+k-a≥0在[1，2]上恒成立，此時求出a與k的不等式，已知k=0，代入求出a的范圍，根據(jù)p與q都為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，“命題p為假命題”⇒“命題q為真命題”，可以求出實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：若p為真，則△≥0，得a≤-4或a≥-2
若q為真，則令f(x)=

1

2

x2-lnx+k-a≥0在[1，2]上恒成立，f(x)=x-

1

x

=0，
解得x=1．可得f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
即f(x)min=f(1)=

1

2

+k-a≥0，
解得a≤

1

2

+k，
（1）k=0，p和q均為真，則得實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-4]∪[-2，

1

2

]
（2）p為假命題，得-4＜a＜-2
由于q為真命題是p為假命題的必要不充分條件，即“命題p為假命題”⇒“命題q為真命題”，
所以

1

2

+k≥-2，解得k≥-

5

2

點評：此題主要考查命題真假的判斷，充分必要條件的定義，考查的知識點多且全面，是一道中檔題；