Question

我們用符號(hào)“||”定義過(guò)一些數(shù)字概念，如實(shí)數(shù)絕對(duì)值的概念：對(duì)于a∈R，|a|=

a，a＞0 0，a=0 -a，a＜0

，可以證明，對(duì)任意a，b∈R，不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立．
（1）再寫出兩個(gè)這類數(shù)學(xué)概念的定義及其成立的不等式；
（2）對(duì)于集合A，定義“|A|”為集合A中元素的個(gè)數(shù)，對(duì)任意的集合A、B有類似的不等式成立嗎？如果有，寫出一個(gè)，并指出等號(hào)成立的條件（不必說(shuō)明理由）；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若從A中任取兩上元素，恰好都是B中元素的概率p≥

1

5

，求|A∩B|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于條件中定義的絕對(duì)值的意義，寫出兩個(gè)符合這種條件的表達(dá)式，一個(gè)是復(fù)數(shù)具有這種性質(zhì)，一個(gè)是向量具有這種性質(zhì)．
（2）對(duì)任意集合A，B，不等式|A|-|B|≤A∪B≤|A|+|B|成立，左邊等號(hào)成立的條件是：B=φ，右邊等號(hào)成立的條件是：A∩B=φ．
（3）根據(jù)所給的概率的值，表示出概率的表示式，整理出關(guān)于n的不等式即n（n-1）≥42，得到n≥7或n≤-6
注意到n≤15，n∈N，所以7≤n≤15，且n∈N，得到結(jié)果．

解答：解：（1）①設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），定義復(fù)數(shù)z的模為：
|z|=

a2+b2

（2分）
對(duì)任意復(fù)數(shù)z₁，z₂，不等式|z₁|-|z₂|≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|成立
（也可以是||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|等）
②平面向量之間具有這種關(guān)系，設(shè)平面向量

.

a

={x，y}，定義向量的模為：|a|=

x2+y2

（5分）
對(duì)于任意向量|

a

|-|

b

|≤|

a

-

b

|≤|

a

|+|

b|

成立
（2）有，對(duì)任意集合A，B，不等式|A|-|B|≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左邊等號(hào)成立的條件是：B=φ，右邊等號(hào)成立的條件是：A∩B=φ；（4分）
（或者：不等式||A|-|B||≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左邊等號(hào)成立的條件是：B=φ 或A=φ，右邊等號(hào)成立的條件是：A∩B=φ；（4分））
（3）易知：|A∩B|≤15，設(shè)|A∩B|=n，（1分）
依題意：p=

C 2 n

C 2 15

≥

1

5

，（3分）
即n（n-1）≥42，∴n≥7或n≤-6 （4分）
注意到n≤15，n∈N，所以7≤n≤15，且n∈N
即滿足題意的|A∩B|的取值范圍是{n|7≤n≤15，且n∈N }（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)新定義問(wèn)題，幫助我們對(duì)于數(shù)學(xué)中有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行比較，本題解題的關(guān)鍵是讀懂題目所給的條件，并且能夠意義知識(shí)點(diǎn)寫出符合條件的式子，本題是一個(gè)難題．