Question

【題目】近日，某公司對(duì)其生產(chǎn)的一款產(chǎn)品進(jìn)行促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該產(chǎn)品的銷售量P（單位：萬(wàn)件）與促銷費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）滿足函數(shù)關(guān)系：p=3﹣ （其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品件數(shù)為P（單位：萬(wàn)件）時(shí)，還需投入成本10+2P（單位：萬(wàn)元）（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（4+ ）元/件，假定生產(chǎn)量與銷售量相等．
（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）表示為促銷費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）是多少時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）取最大值？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，y=（4+ ）p﹣x﹣（10+2p），

將p=3﹣ 代入化簡(jiǎn)得：y=26﹣ ﹣x（0≤x≤a）；

（2）解：y′=﹣ ，

當(dāng)a≥1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)y'＞0，所以函數(shù)26﹣ ﹣x在（0，1）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（1，a）時(shí)y'＜0，所以函數(shù)26﹣ ﹣x在（1，a）上單調(diào)遞減，

從而促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；

當(dāng)a＜1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)26﹣ ﹣x在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以在[0，a]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．

即促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大，為23 萬(wàn)元；

當(dāng)a＜1時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大，為26﹣ ﹣a 萬(wàn)元

【解析】（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷售額﹣產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．