如圖,A、B是兩圓的交點,AC是小圓的直徑,D和E分別是CA和CB的延長線與大圓的交點,已知AC=4,BE=10,且BC=AD,求DE的長.
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分析:設CB=AD=x,由圓的割線定理列出關(guān)于x的方程,求出x的值即得到CD和CE的值,又因為AC為小圓的直徑,則所對的圓周角∠CBA等于90°即∠ABE等于90°,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補得到∠D也等于90°,所以在直角三角形CDE中,利用勾股定理即可求出DE的長.
解答:解:設CB=AD=x,則由割線定理,得CA•CD=CB•CE,
即4(4+x)=x(x+10),化簡得x2+6x-16=0,解得x=2或x=-8(舍去),即CD=6,CE=12,
因為CA為直徑,所以∠CBA=90°,即∠ABE=90°,
則由圓的內(nèi)接四邊形對角互補,得∠D=90°,
則CD2+DE2=CE2
∴62+DE2=122,
∴DE=6
3
點評:此題考查學生靈活運用圓的內(nèi)接四邊形對角互補及直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì),靈活運用圓的割線定理化簡求值,是一道中檔題.
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