【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣2a|+a2﹣4a(a∈R). (Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時(shí),求f(x)在[﹣3,0]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若方程f(x)=0有3個(gè)不相等的實(shí)根x1 , x2 , x3 , 求 + + 的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵a=﹣1,
∴f(x)=x|x+2|+5= ,
x∈[﹣2,0]時(shí),4≤f(x)≤5,
x∈[﹣3,﹣2]時(shí),2≤f(x)≤5,
∴f(x)min=f(﹣3)=2,f(x)max=f(0)=5;
(Ⅱ)∵f(x)= ,
①若a>0,∵方程f(x)=0有3個(gè)不相等的實(shí)根,
故x<2a時(shí),方程f(x)=﹣x2+2ax+a2﹣4a=0有2個(gè)不相等的實(shí)根,
x≥2a時(shí),方程f(x)=x2﹣2ax+a2﹣4a=0有1個(gè)不相等的實(shí)根,
∴ ,解得:2<a<4,
不妨設(shè)x1<x2<x3,則x1+x2=2a,x1x2=﹣a2+4a,x3=a+2 ,
∴ + + = + =﹣ > ,
∴ + + 的范圍是( ,+∞),
②若a<0,當(dāng)x>2a時(shí),方程f(x)=x2﹣2ax+a2﹣4a=0的判別式小于0,
不符合題意;
③a=0時(shí),顯然不和題意,
故 + + 的范圍是( ,+∞)
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的分段函數(shù)的解析式,從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可;(Ⅱ)通過討論a的范圍,得到 + + 的表達(dá)式,從而求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù),g(x)為R上的奇函數(shù),且f(x)+g(x)=log4(4x+1).
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)﹣ 在R上只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期為π,若其圖象向左平移 個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖象( )
A.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱
B.關(guān)于點(diǎn)(﹣ ,0)對稱
C.關(guān)于直線x=﹣ 對稱
D.關(guān)于直線x= 對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2, .
(1)若△ABC的面積等于 ,求a,b;
(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面積.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣ <φ< ,x∈R)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸方向向右平移 個(gè)單位長度,再把橫坐標(biāo)縮短到原來的 (縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,當(dāng)x∈[﹣ , ]時(shí),求函數(shù)g(x)的值域.
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【題目】設(shè){an}是公比q>1的等比數(shù)列,若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的兩個(gè)根,則a2007+a2008= .
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【題目】已知一組數(shù)據(jù)x1 , x2 , x3 , x4 , x5的平均數(shù)是2,方差是 ,那么另一組數(shù)據(jù)3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2, 3x4﹣2,3x5﹣2的平均數(shù)和方差分別是 .
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【題目】記[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[1.2]=1,[0.5]=0,則方程[x]﹣x=lnx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】已知函數(shù)f(x)=b+logax(x>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(8,2)和(1,﹣1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)[f(x)]2=3f(x),求實(shí)數(shù)x的值;
(3)令y=g(x)=2f(x+1)﹣f(x),求y=g(x)的最小值及其最小值時(shí)x的值.
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