試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意可得當(dāng)
時(shí),
成等差數(shù)列,當(dāng)
時(shí),
,可見(jiàn)由
得出前
項(xiàng)成等差數(shù)列,
項(xiàng)以后奇數(shù)項(xiàng)為
,偶數(shù)項(xiàng)為
,這樣結(jié)合等差數(shù)列的前
項(xiàng)公式就可求出
;(Ⅱ)以
和
為界對(duì)
進(jìn)行分類(lèi)討論,當(dāng)
時(shí),顯然成立;當(dāng)
時(shí),由題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系
,不難得到
;當(dāng)
時(shí),得
,可轉(zhuǎn)化為當(dāng)
時(shí)的情況,命題即可得證; (Ⅲ)由
可得
,根據(jù)題中遞推關(guān)系可得出
,進(jìn)而可得出
=
,又
,由于
要對(duì)
分奇偶性,故可將相鄰兩整數(shù)
當(dāng)作一個(gè)整體,要證不等式可進(jìn)行適當(dāng)放縮
,要對(duì)
分奇偶性,并結(jié)合數(shù)列求和的知識(shí)分別進(jìn)行證明即可.
試題解析:(Ⅰ)
由題意知數(shù)列
的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開(kāi)始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而
=
(3分)
=
. (5分)
(Ⅱ)證明:①若
,則題意成立 (6分)
②若
,此時(shí)數(shù)列
的前若干項(xiàng)滿足
,即
.
設(shè)
,則當(dāng)
時(shí),
.
從而此時(shí)命題成立 (8分)
③若
,由題意得
,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.
綜上所述,原命題成立 (10分)
(Ⅲ)當(dāng)
時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240313449011280.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以
=
(11分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031344948365.png" style="vertical-align:middle;" />>0,所以只要證明當(dāng)
時(shí)不等式成立即可.
而
(13分)
①當(dāng)
時(shí),
(15分)
②當(dāng)
時(shí),由于
>0,所以
<
綜上所述,原不等式成立 (16分)