【題目】已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE = ,G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF.
(1)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為,求的最大值;
(2)當(dāng) 取得最大值時,求二面角D-BF-C的余弦值.
【答案】(1) 有最大值為;(2) 二面角的余弦值為:-.
【解析】試題分析:(1)由平面, ,可得,進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,進(jìn)而建立空間坐標(biāo)系,可得的解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),易求出有最大值;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論平面的一個法向量為,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量,代入向量夾角公式即可得到二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵平面平面,AE⊥EF,
∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz.則A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),
E(0,0,0)∵AD∥面BFC,
所以VA-BFC=
,即時有最大值為.
(2)設(shè)平面DBF的法向量為,∵AE=2, B(2,0,0),
D(0,2,2),F(xiàn)(0,3,0),∴ (-2,2,2),
則,即,
取x=3,則y=2,z=1,∴
面BCF的一個法向量為
則cos<>=.
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角,所以此二面角的余弦值為:-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組為了解學(xué)生每周用于體育鍛煉時間的情況,在甲、乙兩所學(xué)校隨機(jī)抽取了各50名學(xué)生,做問卷調(diào)查,并作出如下頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)直方圖計算:兩所學(xué)校被抽取到的學(xué)生每周用于體育鍛煉時間的平均數(shù);
(2)在這100名學(xué)生中,要從每周用于體育鍛煉時間不低于10小時的學(xué)生中選出3人,該3人中來自乙學(xué)校的學(xué)生數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D為棱AC的中點(diǎn),側(cè)面A1ACC1為邊長為2的菱形,AC⊥CB,BC=1.
(1)證明:AC1⊥平面A1BC;
(2)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為p2= ,定點(diǎn)A(0,﹣ ),F(xiàn)1 , F2是圓錐曲線C的左、右焦點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)F1且平行于直線AF2 .
(1)求圓錐曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程;
(2)若直線l與圓錐曲線C交于M,N兩點(diǎn),求|F1M||F1N|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)=-1時,求的單調(diào)區(qū)間及值域;
(2)若在()上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐C的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面PEC
(2)求證:平面PCD⊥平面PEC;
(3)求三棱錐C-BEP的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)時,判斷在的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)若對恒成立,求的取值范圍;
(3)討論的零點(diǎn)的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(ex+1)(ax+2a﹣2),若存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)﹣2<0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(0, )
C.(﹣∞,1)
D.(﹣∞, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解男性家長和女性家長對高中學(xué)生成人禮儀式的接受程度,某中學(xué)團(tuán)委以問卷形式調(diào)查了位家長,得到如下統(tǒng)計表:
男性家長 | 女性家長 | 合計 | |
贊成 | |||
無所謂 | |||
合計 |
(1)據(jù)此樣本,能否有的把握認(rèn)為“接受程度”與家長性別有關(guān)?說明理由;
(2)學(xué)校決定從男性家長中按分層抽樣方法選出人參加今年的高中學(xué)生成人禮儀式,并從中選人交流發(fā)言,求發(fā)言人中至多一人持“贊成”態(tài)度的概率.
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