Question

如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，∥ＡＥ，，,分別為的中點(diǎn)．

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）求空間角，一般利用空間向量解決.首先要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，由平面平面及，運(yùn)用面面垂直性質(zhì)定理，可得，這樣確定豎坐標(biāo).橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)可根據(jù)右手系建立.因?yàn)?/span>異面直線與所成角等于向量與夾角或其補(bǔ)角，而異面直線與所成角范圍為，所以 ，（2） 直線和平面所成角與向量與平面法向量夾角互余或相差，而直線和平面所成角范圍為，所以.

試題解析：

∵，又∵面面，面面，

，∴，∵BD∥AE，∴， 2分

如圖所示，以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB為x，y軸，以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵，∴設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，

則，，，

，，.

（1），

則與所成角為. 5分

（2）設(shè)平面ODM的法向量，則由，且可得

令，則，，∴，設(shè)直線CD和平面ODM所成角為，則

，

∴直線CD和平面ODM所成角的正弦值為． 10分

考點(diǎn)：利用空間向量求異面直線所成角及直線與平面所成角.