Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）若關(guān)于x的不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根據(jù)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構(gòu)造關(guān)于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根據(jù)已知中定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1時，f（x）＜0恒成立，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明方法--作差法（定義法）我們即可得到f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，我們可將不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）轉(zhuǎn)化為一個指數(shù)不等式，進(jìn)而利用換元法可將問題轉(zhuǎn)化為一個二次不等式恒成立問題，解答后即可得到滿足條件的實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
證明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得f(

y

x

)=f(y)-f(x)，
設(shè)x₁＞x₂＞0，f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)，

x1

x2

＞1，
∴f(

x1

x2

)＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；（10分）
（3）因為f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1），
所以f（k•3^x）≥f（9^x-3^x+1），由（2）得

k•3x≤9x-3x+1 k•3x＞0

（*）恒成立，
令t=3^x＞0，則（*）可化為t²-（k+1）t+1≥0對任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴（k+1）²-4≤0
∴0＜k≤1．（15分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是“湊配”思想的應(yīng)用，（2）的關(guān)鍵是將f（xy）=f（x）+f（y），變型為f（xy）-f（y）=f（x），從而得到f（x₁）-f（x₂）=f（

x2

x1

），（3）的關(guān)鍵是利用（1）（2）的結(jié)論對不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）進(jìn)行變形．