已知z7=1(z∈C且z≠1).
(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(2)設(shè)z的輻角為α,求cosα+cos2α+cos4α的值.
分析:(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;只須1+z+z2+z3+z4+z5+z6乘z,此式移項(xiàng)化簡(jiǎn)即可.
(2)由(1)知|z|=1,z的輻角為α?xí)r,復(fù)數(shù)z+z2+z4的實(shí)部為cosα+cos2α+cos4α,利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造z+z2+z4即可
解答:解:(1)由z(1+z+z2+z3+z4+z5+z6
=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7
=1+z+z2+z3+z4+z5+z6,
得(z-1)(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=0.(4分)
因?yàn)閦≠1,z-1≠0,
所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0.(6分)
(2)因?yàn)閦7=1.可知|z|=1,
所以z•
.
z
=1
,而z7=1,所以z•z6=1,z6=
.
z
,同理
.
z2
=z5
.
z4
=z3
,
.
z+z2+z4
=z3+z5+z6

由(Ⅰ)知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1,
z+z2+z4+
.
z+z2+z4
=-1
,
所以z+z2+z4的實(shí)部為-
1
2
,(8分)
而z的輻角為α?xí)r,復(fù)數(shù)z+z2+z4的實(shí)部為cosα+cos2α+cos4α,
所以cosα+cos2α+cos4α=-
1
2
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,考查綜合運(yùn)用復(fù)數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
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