已知z7=1(z∈C且z≠1).
(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(2)設(shè)z的輻角為α,求cosα+cos2α+cos4α的值.
【答案】分析:(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;只須1+z+z2+z3+z4+z5+z6乘z,此式移項化簡即可.
(2)由(1)知|z|=1,z的輻角為α?xí)r,復(fù)數(shù)z+z2+z4的實部為cosα+cos2α+cos4α,利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造z+z2+z4即可
解答:解:(1)由z(1+z+z2+z3+z4+z5+z6
=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7
=1+z+z2+z3+z4+z5+z6,
得(z-1)(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=0.(4分)
因為z≠1,z-1≠0,
所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0.(6分)
(2)因為z7=1.可知|z|=1,
所以,而z7=1,所以z•z6=1,,同理,
由(Ⅰ)知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1,
,
所以z+z2+z4的實部為,(8分)
而z的輻角為α?xí)r,復(fù)數(shù)z+z2+z4的實部為cosα+cos2α+cos4α,
所以.(12分)
點評:本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算,考查綜合運用復(fù)數(shù)的知識解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知z7=1(z∈C且z≠1).
(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(2)設(shè)z的輻角為α,求cosα+cos2α+cos4α的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:北京 題型:解答題

已知z7=1(z∈C且z≠1).
(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(2)設(shè)z的輻角為α,求cosα+cos2α+cos4α的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2001年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷(理)(解析版) 題型:解答題

已知z7=1(z∈C且z≠1).
(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(2)設(shè)z的輻角為α,求cosα+cos2α+cos4α的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2001年內(nèi)蒙古高考數(shù)學(xué)試卷(理)(解析版) 題型:解答題

已知z7=1(z∈C且z≠1).
(1)證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(2)設(shè)z的輻角為α,求cosα+cos2α+cos4α的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案