Question

某工廠生產(chǎn)并銷售某高科技產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是1200（單位：萬元），生產(chǎn)成本c（單位：萬元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（單位：萬件）的立方成正比；該產(chǎn)品單價(jià)p（單位：元）的平方與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（單位萬件）成反比，現(xiàn)已知生產(chǎn)該產(chǎn)品100萬件時(shí)，其單價(jià)p=50元，生產(chǎn)成本c=

8

3

×10⁴萬元，且工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以銷售完．設(shè)工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤f（x）（萬元）．（注：利潤=銷售額-固定成本-生產(chǎn)成本）
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)生產(chǎn)該產(chǎn)品的件數(shù)x（萬件）為多少時(shí)，工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤最大？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出反比例關(guān)系式，代入x=100，p=50求出k的值，設(shè)c=mx³，求出c=

8

3

×10^-2×x³，然后由題目給出的關(guān)系式列式；
（2）求出（1）中所得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值，也就是最大值．

解答： 解：（1）設(shè)p²=

x

k

，
∵生產(chǎn)該產(chǎn)品100萬件時(shí)，其單價(jià)p=50元，
∴得：k=25×10⁴，∴p=

500

x

，
設(shè)c=mx³，則
∵生產(chǎn)該產(chǎn)品100萬件時(shí)，生產(chǎn)成本c=

8

3

×10⁴萬元，
∴

8

3

×10⁴=m•100³，∴m=

8

3

×10^-2，∴c=

8

3

×10^-2×x³，
∴y=f（x）=500

x

-1200-

2

75

x³，（x＞0）；
（2）由（1）得f′（x）=

250

x

-

6

75

x2
由f′（x）＞0，可得0＜x＜25，
∴函數(shù)f（x）在（0，25）上遞增，在（25，+∞）上遞減，
∴函數(shù)f（x）在x=25處有極大值．
∵f（x）在（0，+∞）上只有唯一極值，∴函數(shù)f（x）在x=25處有最大值．
故當(dāng)生產(chǎn)該飾品25萬件時(shí)，可以獲得最大利潤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了簡單的建模思想方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．