Question

【題目】已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．

（1）若已知，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，證明：；

（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，則有，代入橢圓的方程得出，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的最大值，從而證明；

（2）由、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可得出直線(xiàn)與直線(xiàn)，從而可得出直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，得出，并列出韋達(dá)定理，求出線(xiàn)段的中點(diǎn)，再由點(diǎn)在直線(xiàn)上列出不等式，結(jié)合可求出的取值范圍；

（3）令，可得出直線(xiàn)的方程為，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算出的高的表達(dá)式，然后利用三角形的面積公式得出面積的表達(dá)式，利用基本不等式可求出面積的最大值.

（1）設(shè)，則，得，于是

因，所以當(dāng)時(shí)，，即；

（2）由題意知，可設(shè)直線(xiàn)的方程為．

由消去，得．

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以，，即，①

由韋達(dá)定理得，，

，所以，線(xiàn)段的中點(diǎn).

將中點(diǎn)代入直線(xiàn)方程，解得②，

將②代入①得，化簡(jiǎn)得.

解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）令，即，且.

則，，

則，

且到直線(xiàn)的距離為，

設(shè)的面積為，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為．