【題目】如圖 ，在棱長為 a 的正方體ABCD-A1 B1C1 D1 中，E 、F 分別 是棱 AB 與BC 的中點(diǎn).

（1）求二 面角 B-FB1-E 的大��；

（2）求點(diǎn) D 到平面B1EF 的距離；

（3）在棱 DD1 上能否找到一點(diǎn) M， 使 BM ⊥平面EFB1 ? 若能， 試確定點(diǎn) M 的位置；若不能， 請說明理由.

【答案】(1) (2) a. (3) M為DD1的中心

【解析】

（1）如圖 ，作BH ⊥B1 F ，垂足為H ， 連結(jié) EH .

由正方體性質(zhì)知EB ⊥面BB1 F，則 BH是EH 在面BB1 F內(nèi)的射影.

由三垂線定理可知，EH⊥B1 F .

從而，∠EHB是二面角E-B1 F-B 的平面角.

在Rt△EBH中，由，知.

故，即二面角B-B1F-E的大小為.

（2）因為公共邊，

故.

設(shè)點(diǎn) D 到面B1EF 的距離為h .

由，得.

故，即點(diǎn) D 到面B1EF 的距離為a.

（3）設(shè) EF與BD 交于G ， 連 B1G.

因 為 EF ⊥ BD ， EF ⊥ BB1 ， 所 以 EF ⊥面 BB1D1D ， 面 B1 EF ⊥面 BB1D1D .

在面 BB1 D1D 內(nèi)作 BK ⊥B1G 于 K ， 延長后交DD1于 M.

由兩平面垂直的性質(zhì)定理知 BM ⊥面 B1EF ， 即在 DD1上存在適合條件的點(diǎn) M .

在平面 BB1D1D 中， 因△B1BG ∽△BDM ， 故.

又，故，M為DD1的中心.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了傳承經(jīng)典，促進(jìn)學(xué)生課外閱讀，某校從高中年級(jí)和初中年級(jí)各隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行有關(guān)對(duì)中國四大名著常識(shí)了解的競賽，圖1和圖2分別是高中年級(jí)和初中年級(jí)參加競賽的學(xué)生成績按照，，分組，得到的頻率分布直方圖.

（1）完成下列的列聯(lián)表，并回答是否有的把握認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)段的學(xué)生對(duì)四大名著的了解有差異”？

成績小于60分的人數(shù)

成績不小于60的人數(shù)

合計(jì)

初中年級(jí)

高中年級(jí)

合計(jì)

（2）規(guī)定競賽成績不少于70分的為優(yōu)秀，按分層抽樣的方法從高中，初中年級(jí)優(yōu)秀學(xué)生中抽取5人進(jìn)行復(fù)賽，在復(fù)賽人員中選3人進(jìn)行面試，記面試人員中來自初中段的為隨機(jī)變量Ｘ，求隨機(jī)變量Ｘ的分布列與期望.

其中

附表：

0．10

0.05

span>0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】同學(xué)們剛剛結(jié)束了史上最長寒假，經(jīng)高二各班數(shù)學(xué)老師了解，同學(xué)們每天沉迷于學(xué)習(xí)中不能自拔，每天認(rèn)真完成作業(yè)，作業(yè)正確率很高，為同學(xué)們點(diǎn)贊!某個(gè)周日一位同學(xué)正在三河灘鍛煉身體，突然接到級(jí)部通知回家開網(wǎng)絡(luò)學(xué)生會(huì)，從三河灘某處A到對(duì)岸公路BC的距離AB為2km， B處與家C間的距離為4km，從A到C，必須先步行到BC上的某一點(diǎn)D，步行速度為5km/h，再乘電動(dòng)車到C，電動(dòng)車車速為10km/h，記

（1）試將由A到C所用的時(shí)間t表示為的函數(shù)；

（2）間為多少時(shí)，由A到C所用的時(shí)間t最少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)曲線（a為正常數(shù)）與在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；

（2）O為原點(diǎn)，若與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)時(shí)，試求△OAP的面積的最大值（用a表示）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的任意一點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，的面積為4（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求拋物線的方程；

（2）若，連接并延長交拋物線于，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，且為直角三角形，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在古裝電視劇《知否》中，甲乙兩人進(jìn)行一種投壺比賽，比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，三場比賽得籌數(shù)最多者獲勝.假設(shè)甲投中“有初”的概率為，投中“貫耳”的概率為，投中“散射”的概率為，投中“雙耳”的概率為，投中“依竿”的概率為，乙的投擲水平與甲相同，且甲乙投擲相互獨(dú)立.比賽第一場，兩人平局;第二場，甲投了個(gè)“貫耳”，乙投了個(gè)“雙耳”，則三場比賽結(jié)束時(shí)，甲獲勝的概率為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年12月以來，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計(jì)確診人數(shù)隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖.

為了預(yù)測在未釆取強(qiáng)力措施下，后期的累計(jì)確診人數(shù)，建立了累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的兩個(gè)回歸模型，根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）以下是1月25日至1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：

時(shí)間

1月25日

1月26日

1月27日

1月28日

1月29日

累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)

1975

2744

4515

5974

7111

（�。┊�(dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預(yù)測數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)差值的絕對(duì)值與真實(shí)數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1則認(rèn)為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？

（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的強(qiáng)力領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民共同采取了強(qiáng)力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實(shí)數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測數(shù)據(jù)，則認(rèn)為防護(hù)措施有效，請判斷預(yù)防措施是否有效？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.

參考數(shù)據(jù)：其中，.

5.5

390

19

385

7640

31525

154700

100

150

225

338

507

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某研究公司為了調(diào)查公眾對(duì)某事件的關(guān)注程度，在某年的連續(xù)6個(gè)月內(nèi)，月份和關(guān)注人數(shù)（單位：百）（）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

17.5

35

36.5

（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明，并建立y關(guān)于x的回歸方程；

（2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，調(diào)查材料費(fèi)用v（單位：百元）與調(diào)查人數(shù)滿足函數(shù)關(guān)系，求材料費(fèi)用的最小值，并預(yù)測此時(shí)的調(diào)查人數(shù)；

（3）現(xiàn)從這6個(gè)月中，隨機(jī)抽取3個(gè)月份，求關(guān)注人數(shù)不低于1600人的月份個(gè)數(shù)分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，若，則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若數(shù)列滿足（），且，求證：是等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，試探究當(dāng)正實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，數(shù)列具有如下性質(zhì)：對(duì)于任意的（），都存在，使得，寫出你的探究過程，并求出滿足條件的正實(shí)數(shù)的集合.

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