Question

己知函數f（x）=（mx+n）e^-x在x=1處取得極值e^-1
（I ）求函數f（x）的解析式，并求f（x）的單調區(qū)間；
（II ）當．x∈（a，+∞）時，f（2x-a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數的導函數，由函數f（x）=（mx+n）e^-x在x=1處取得極值e^-1，得到f（1）=e^-1，f′（1）=0，聯立后求得m和n的值，則函數解析式可求，代入導函數后由導函數大于0和導函數小于0求得原函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）構造輔助函數g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），求導后分析f^′（x）的單調性，然后對a分類討論，根據a的范圍得到g^′（x）的符號并判斷g（x）的單調性，由單調性得到a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e^-x，得
f′（x）=-（mx+n-m）e^-x．
依題意，f（1）=e^-1，f′（1）=0，即
，解得m=1，n=0．
所以f（x）=xe^-x．
f′（x）=-（x-1）e^-x．
當x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0．
所以，函數f（x）在（-∞，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
（Ⅱ）設g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），則g′（x）=2[f′（2x-a）-f′（x）]．
設h（x）=f′（x）=-（x-1）e^-x，則h′（x）=（x-2）e^-x．
當x∈（-∞，2）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；
當x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增．
（1）若a≥2，則當x∈（a，+∞）時，2x-a＞x，h（2x-a）＞h（x），即f′（2x-a）＞2f′（x），
所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）單調遞增，此時g（x）＞g（a）=0，
即f（2x-a）+f（a）-2f（x）＞0．
（2）若a＜2，則當x∈（a，）時，2x-a＞x，h（2x-a）＜h（x），即f′（2x-a）＜2f′（x），
所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）單調遞減，此時g（x）＜g（a）=0．
綜上，a的取值范圍是[2，+∞）．
點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了函數構造法和分類討論的數學思想方法，屬中檔題．