Question

如圖所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分別是AC、AD的中點，BC⊥CD．
（1）求證：MN∥平面BCD；
（2）求證：平面BCD⊥平面ABC；
（3）若AB=1，BC=

3

，求直線AC與平面BCD所成的角．

Answer 1

分析：（1）因為M，N分別是AC，AD的中點，所以MN∥CD．由此能夠證明MN∥平面BCD．
（2）因為AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以AB⊥CD．因為CD⊥BC且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．由此能夠證明平面BCD⊥平面ABC．
（3）因為AB⊥平面BCD，所以∠ACB為直線AC與平面BCD所成的角．由此能夠求出直線AC與平面BCD所成的角．

解答：解：（1）∵M(jìn)，N分別是AC，AD的中點，
∴MN∥CD．
∵M(jìn)N?平面BCD且CD?平面BCD，
∴MN∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD．
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC．
∵CD?平面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABC．
（3）∵AB⊥平面BCD，
∴∠ACB為直線AC與平面BCD所成的角． 
在直角△ABC中，AB=1，BC=

3

，
∴tan∠ACB=

AB

BC

=

3

3

．
∴∠ACB=30°．
故直線AC與平面BCD所成的角為30°．

點評：本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化立體問題為平面問題．