精英家教網(wǎng)(Ⅰ)如圖,正方形OABC在二階矩陣M對應(yīng)的切變變換作用下變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A′B′C′,平行四邊形OA'B'C'在二階矩陣N對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換作用下變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C'',求將正方形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C''的變換對應(yīng)的矩陣.
(Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓O的參數(shù)方程為
x=-
2
2
+rcosθ
y=-
2
2
+rsinθ
(θ為參數(shù),r>0).以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸,并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
.寫出圓心的極標(biāo),并求當(dāng)r為何值時,圓O上的點到直線l的最大距離為3.
(Ⅲ)已知a2+2b2+3c2=6,若存在實數(shù)a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,求實數(shù)x的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先設(shè)正方形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C''的變換對應(yīng)的矩陣M=
ab
cd
,由于點A(2,0)經(jīng)矩陣M變換為A''(0,2),C(0,2)經(jīng)矩陣M變換為C''(-2,2),列出 關(guān)于a,b,c,d 的方程式即可解得a,bc,d.從而寫出變換對應(yīng)的矩陣;
(Ⅱ)先寫出圓心的極坐標(biāo)(1,
4
)
和直線的方程,再利用直線與圓的位置關(guān)系即可求得圓O上的點到直線的最大距離;
(Ⅲ)先根據(jù)由柯西不等式得(a+2b+3c)2≤(a2+2b2+3c2)(1+2+3),得到不等關(guān)系|x+1|<6最后解此絕對值不等式即得.
解答:(Ⅰ)解:設(shè)正方形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A''B''C''的變換對應(yīng)的矩陣M=
ab
cd
,
如圖點A(2,0)經(jīng)矩陣M變換為A''(0,2),C(0,2)經(jīng)矩陣M變換為C''(-2,2),
所以
ab
cd
2
0
=
0
2
,即
2a=0
2c=2.
(3分)
ab
cd
0
2
=
-2
2
,即
2b=-2
2d=2.
(5分)
解得a=0,c=1,b=-1,d=1,
所以M=
01
-11
.(7分)
(Ⅱ)解:圓心的極坐標(biāo)(1,
4
)
.(3分)
直線為x+y-1=0,
圓心O(-
2
2
,-
2
2
)到直線的距離為d=
|-
2
-1|
2
,(5分)
圓O上的點到直線的最大距離為
|-
2
-1|
2
+r=3,解得r=2-
2
2
.(7分)
(Ⅲ)由柯西不等式得(a+2b+3c)2≤(a2+2b2+3c2)(1+2+3),
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時,等號成立.(3分)
故a+2b+3c的最大值為6,故|x+1|<6,(5分)
解得{x|-7<x<5}.(7分)
點評:本題主要考查了二階矩陣,幾種特殊的矩陣變換、考查圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程的概念、絕對值不等式的解法等基礎(chǔ)知識,不等式的證明問題,其中涉及到柯西不等式的應(yīng)用問題,有一定的技巧性,需要同學(xué)們柯西不等式非常熟練,屬于中檔題目.
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2
2
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2
2
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