設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C對邊分別是a,b,c,已知
a
sinA
=
3
b
cosB

(I)求角B的大。
(II)若cos(B+C)+
3
sinA=2,且bc=4,求△ABC的面積.
分析:(I)利用正弦定理化簡已知的等式,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形后,求出tanB的值,由B為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(II)由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡cos(B+C)+
3
sinA=2,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形后,求出sin(A-
π
6
)的值,由A的為三角形的內(nèi)角,求出A-
π
6
的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于A的方程,求出方程的解得到A的度數(shù),再由bc的值,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:(I)在△ABC中,由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
化簡已知的等式得:
b
sinB
=
3
b
cosB
,即tanB=
3
3
,
∵B為三角形的內(nèi)角,
∴B=
π
6
;
(II)在△ABC中,B+C=π-A,
∴cos(B+C)+
3
sinA=-cosA+
3
sinA=2sin(A-
π
6
),
由題意得:2sin(A-
π
6
)=2,即sin(A-
π
6
)=1,
∵-
π
6
<A-
π
6
6
,
∴A-
π
6
=
π
2
,即A=
3
,又bc=4,
則S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
×4×sin
3
=
3
點(diǎn)評:此題考查了正弦定理,誘導(dǎo)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+
π
6
)+2sinxcos(x+
π
6
)

(I)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時,求f(x)
的值域;
(II)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的三邊依次為a,b,c,已知f(A)=1,a=
7
,△ABC面積為
3
3
2
,求b+c

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a、b、c且a2+b2=mc2(m為常數(shù)),若tanC(tanA+tanB)=2tanAtanB,則實(shí)數(shù)m的值為
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C.向量
m
=(1,cos
C
2
)與
n
=(
3
sin
C
2
+cos
C
2
,
3
2
)
共線.
(Ⅰ)求角C的大。
(Ⅱ)設(shè)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足2acosC+c=2b,試判斷△ABC的形狀.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,則“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案