Question

在二項(xiàng)式（1+3x）ⁿ和（2x+5）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和分別記為a_n、b_n、n是正整數(shù)，則

lim

n→∞

an-2bn

3an-4bn

=

 

．

Answer 1

分析：先求出各項(xiàng)系數(shù)之和a_n、b_n，代入所求極限表達(dá)式，再由極限運(yùn)算法則可求．

解答：解：由題可知：二項(xiàng)式（1+3x）ⁿ和（2x+5）ⁿ的展開(kāi)式中，分別令x=1即可得a_n=4ⁿ、b_n=7ⁿ，
將a_n=4ⁿ、b_n=7ⁿ，代入

lim

n→∞

an-2bn

3an-4bn

=

lim

n→∞

4n-2×7n

3×4n- 4×7n

=

lim

n→∞

( 4 7 )n- 2

3×( 4 7 )n-4

=

1

2

，
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題有兩點(diǎn)注意：
（1）用特殊值求二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和，高考中常在填空中出現(xiàn)．
（2）分式極限求解法則要熟練掌握．