已知函數(shù)(為實常數(shù)).
(1)若函數(shù)圖像上動點到定點的距離的最小值為,求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),試用函數(shù)單調性的定義求實數(shù)的取值范圍;
(3)設,若不等式在有解,求的取值范圍.
(1)或;(2);(3)當時,;
當時,.
【解析】
試題分析:(1)點是函數(shù)上的點,因此我們設點坐標為,這樣可把表示為關于的函數(shù),而其最小值為2,利用不等式的知識可求出,即點坐標,用基本不等式時注意不等式成立的條件;(2)題目已經(jīng)要求我們用函數(shù)單調性的定義求解,因此我們直接用定義,設,則函數(shù)在上單調遞增,說明恒成立,變形后可得恒成立,即小于的最小值(如有最小值的話),事實上,故;(3)不等式在有解,則,因此大于或等于的最小值,下面我們要求的最小值,而,可以看作是關于的二次函數(shù),用換元法變?yōu)榍蠖魏瘮?shù)在給定區(qū)間上的最小值,注意分類討論,分類的依據(jù)是二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的關系.
試題解析:(1)設,則,
(1分)
, (1分)
當時,解得;當時,解得. (1分)
所以,或. (1分)
(只得到一個解,本小題得3分)
(2)由題意,任取、,且,
則, (2分)
因為,,所以,即, (2分)
由,得,所以.
所以,的取值范圍是. (2分)
(3)由,得,
因為,所以, (2分)
令,則,所以,令,,
于是,要使原不等式在有解,當且僅當(). (1分)
因為,所以圖像開口向下,對稱軸為直線,
因為,故當,即時,; (4分)
當,即時,. (5分)
綜上,當時,;
當時,. (6分)
考點:(1)兩點間的距離公式與基本不等式;(2)函數(shù)的單調性;(3)不等式有解問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分12分)已知函數(shù)(為實常數(shù))(Ⅰ)若函數(shù)為奇函數(shù),求此函數(shù)的單調區(qū)間;(Ⅱ)記,當,試討論函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知函數(shù)(為實常數(shù)).
(1)若,作函數(shù)的圖像;
(2)設在區(qū)間上的最小值為,求的表達式;
(3)設,若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分12分)已知函數(shù)(為實常數(shù))(Ⅰ)若函數(shù)為奇函數(shù),求此函數(shù)的單調區(qū)間;(Ⅱ)記,當,試討論函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年江西省高二第二學期期中考試理科數(shù)學 題型:解答題
(本大題共14分)
已知函數(shù)(為實常數(shù))的兩個極值點為,且滿足
(1)求的取值范圍;
(2)比較與的大小.
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