如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1AB,點(diǎn)E,M分別為A1B,C1C的中點(diǎn),過點(diǎn)A1,B,M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N

(Ⅰ)求證:EM∥平面A1B1C1D1;

(Ⅱ)求二面角B-A1N-B1的正切值;

(Ⅲ)(文)設(shè)A1A=1,求棱臺(tái)MNC1-BA1B1的體積V.

(理)設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1,V2(V1<V2),求V1∶V2的值.

答案:
解析:

  (Ⅰ)證明:設(shè)A1B1的中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)C1

  (Ⅰ)證明:設(shè)A1B1的中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)C1

  ∵E為A1B的中點(diǎn)  ∴EFB1B  又C1MB1B

  ∴EFMC1  ∴四邊形EMC1F為平行四邊形

  ∴EM∥FC1  ∵EM平面A1B1C1D1,

  FC1平面A1B1C1D1  ∴EM∥平面A1B1C1D1

  (Ⅱ)解:作B1H⊥A1N于H,連接BH

  ∵BB1⊥平面A1B1C1D1  ∴BH⊥A1N

  ∴∠BHB1為二面角B-A1N-B1的平面角

  ∵EM∥平面A1B1C1D1,EM平面A1BMN

  平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N,∴EM∥A1N

  又∵EM∥FC1,∴A1N∥FC1  又∵A1F∥NC1

  ∴四邊形A1FC1N是平行四邊形  ∴NC1=A1F

  設(shè)AA1=a,則A1B1=2a,D1N=a

  在Rt△A1D1N中,A1N=a,

  ∴sin∠A1ND1

  在Rt△A1B1H中,B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·a

  在Rt△BB1H中,tan∠BHB1

  (Ⅲ)(文)∵A1A=1,∴A1B1=B1C1=2  NC1=BB1=1  C1M=

    =1  V=·2(+1)=

  (Ⅲ)(理)延長A1N與B1C1交于P,則P∈平面A1BMN,且P∈平面BB1C1C

  又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM  ∴P∈BM

  即直線A1N,B1C1、BM交于一點(diǎn)P  又∵平面MNC1∥平面BA1B1,

  ∴幾何體MNC1-BA1B1為棱臺(tái)(沒有以上這段證明,不扣分)

  ∵·2a·a=a2  ·a·a=a2

  ∴棱臺(tái)MNC1-BA1B1的高為B1C1=2a

  ∴V1·2a·(a2a2)=a3

  ∴V2=2a·2a·a-a3a3  ∴


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