如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,點(diǎn)E,M分別為A1B,C1C的中點(diǎn),過點(diǎn)A1,B,M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N
(Ⅰ)求證:EM∥平面A1B1C1D1;
(Ⅱ)求二面角B-A1N-B1的正切值;
(Ⅲ)(文)設(shè)A1A=1,求棱臺(tái)MNC1-BA1B1的體積V.
(理)設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1,V2(V1<V2),求V1∶V2的值.
(Ⅰ)證明:設(shè)A1B1的中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)C1 ∵E為A1B的中點(diǎn) ∴EFB1B 又C1MB1B ∴EFMC1 ∴四邊形EMC1F為平行四邊形 ∴EM∥FC1 ∵EM平面A1B1C1D1, FC1平面A1B1C1D1 ∴EM∥平面A1B1C1D1 (Ⅱ)解:作B1H⊥A1N于H,連接BH ∵BB1⊥平面A1B1C1D1 ∴BH⊥A1N ∴∠BHB1為二面角B-A1N-B1的平面角 ∵EM∥平面A1B1C1D1,EM平面A1BMN 平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N,∴EM∥A1N 又∵EM∥FC1,∴A1N∥FC1 又∵A1F∥NC1, ∴四邊形A1FC1N是平行四邊形 ∴NC1=A1F 設(shè)AA1=a,則A1B1=2a,D1N=a 在Rt△A1D1N中,A1N==a, ∴sin∠A1ND1== 在Rt△A1B1H中,B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·=a 在Rt△BB1H中,tan∠BHB1=== (Ⅲ)(文)∵A1A=1,∴A1B1=B1C1=2 NC1=BB1=1 C1M= = =1 V=·2(++1)= (Ⅲ)(理)延長A1N與B1C1交于P,則P∈平面A1BMN,且P∈平面BB1C1C 又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM ∴P∈BM 即直線A1N,B1C1、BM交于一點(diǎn)P 又∵平面MNC1∥平面BA1B1, ∴幾何體MNC1-BA1B1為棱臺(tái)(沒有以上這段證明,不扣分) ∵=·2a·a=a2 =·a·a=a2 ∴棱臺(tái)MNC1-BA1B1的高為B1C1=2a ∴V1=·2a·(a2++a2)=a3 ∴V2=2a·2a·a-a3=a3 ∴ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044
解答題
如圖,在正方體ABCD——中,E、F分別是、CD的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥;
(2)求AE與所成的角;
(3)證明:平面AED⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007屆廣東省韶關(guān)市高三摸底考試數(shù)學(xué)(文)試題 題型:044
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