Question

已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為。
（1）求的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)；
（2）若圓經(jīng)過不同的三點(diǎn)、、，且斜率為的直線與圓相切于點(diǎn)，求圓的方程；
（3）問圓是否存在斜率為的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1)  ,  ；(2)  ；
(3) 或。

試題分析：（1）邊上的高所在直線的方程為，所以，，
又，所以         2分
設(shè)，則的中點(diǎn)，代入方程，
解得，所以.     4分
（2）由，可得，圓的弦的中垂線方程為，
注意到也是圓的弦，所以，圓心在直線上，
設(shè)圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A心在直線上，所以 ①，
又因?yàn)樾甭蕿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002753706206.png" style="vertical-align:middle;" />的直線與圓相切于點(diǎn)，所以，
即，整理得 ②，
由①②解得，，
所以，，半徑，
所以所求圓方程為。        8分
（3）假設(shè)存在直線，不妨設(shè)所求直線方程為，
聯(lián)立方程   得：        9分
又  得     10分
， ，      11分
依題意得         12分
故解得：      13分
經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意。故所求直線方程為：或        14分
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)。知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，是一道中檔題。