Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)為A、B，直線l₁、l₂分別過(guò)點(diǎn)A、B且與x軸垂直，點(diǎn)（1，e）和（2，0）均在橢圓上，其中e為橢圓C的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓C上不同于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，直線AP與l₂交于點(diǎn)D，直線BP與l₁于點(diǎn)E，線段OD和OE分別與橢圓交于點(diǎn)R，G．
（ⅰ）是否存在定圓與直線DE相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ⅱ）求證：

1

OG2

+

1

OR2

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

1 a2 + c2 a2b2 =1 a=2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）（�。┰O(shè)點(diǎn)P（m，n），則

m2

4

+n2=1(m≠±2)，由已知條件求出直線DE的方程為(

n

m+2

+

n

m-2

)x-y+

2n

m+2

-

2n

m-2

=0，由此能證明定圓x²+y²=4與DE相切．
（ⅱ）由已知條件得OD⊥OE，設(shè)OG的斜率是k，則由y=kx與x²+4y²=4聯(lián)立得到（1+4k²）x²=4，由此能證明

1

OG2

+

1

OR2

=

5

4

為定值．

解答： （1）解：橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點(diǎn)（1，e）和（2，0）均在橢圓上，
∴

1 a2 + c2 a2b2 =1 a=2

，解得b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（2分）
（2）（�。┙猓捍嬖诙▓Ax²+y²=4與DE相切，證明如下．
設(shè)點(diǎn)P（m，n），則

m2

4

+n2=1(m≠±2)．…（3分）
直線AD的斜率為

n

m+2

，直線AD的方程為y=

n

m+2

(x+2)，
令x=2，得D點(diǎn)坐標(biāo)為(2，

4n

m+2

)．…（4分）
直線BE的斜率為

n

m-2

，直線BE的方程為y=

n

m-2

(x-2)，
令x=-2，得E點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，-

4n

m-2

)．…（5分）
由此可得直線DE的方程為(

n

m+2

+

n

m-2

)x-y+

2n

m+2

-

2n

m-2

=0
原點(diǎn)O到直線DE的距離：
d=

| 2n m+2 - 2n m-2 |

( n m+2 + n m-2 )2+1

=

| 8n m2-4 |

( 2mn m2-4 )2+1

=

| 8n -4n2 |

( 2mn -4n2 )2+1

=

| 2 n |

( m 2n )2+1

=

| 2 n |

m2+4n2 4n2

=

| 2 n |

4 4n2

=2，
∴定圓x²+y²=4與DE相切．…（8分）
（ⅱ）證明：∵kOD•kOE=

2n

m+2

•

2n

m-2

=

4n2

m2-4

=-1，
∴OD⊥OE，…（9分）
設(shè)OG的斜率是k，則由y=kx與x²+4y²=4聯(lián)立得到（1+4k²）x²=4，
∴

1

OG2

=

1

(1+k2)x2

=

1+4k2

4(1+k2)

．…（11分）
用-

1

k

代替k，得

1

OR2

=

1+ 4 k2

4(1+ 1 k2 )

=

k2+4

4(1+k2)

，…（12分）
∴

1

OG2

+

1

OR2

=

5

4

．
∴

1

OG2

+

1

OR2

為定值．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查定圓與直線相切的判斷與定圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．