如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點，EP⊥底面ABCD．
（1）求證：AQ∥平面CEP；
（2）求證：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱錐E-AQC的體積．
（1）在矩形ABCD中，∵AP=PB，DQ=QC，∴AP∥CQ 且AP=CQ，
∴AQCP為平行四邊形，∴CP∥AQ．∵CP?平面CEP，AQ?平面CEP，
∴AQ∥平面CEP．
（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ?平面ABCD，∴AQ⊥EP．
∵AB=2BC，P為AB中點，∴AP=AD．連PQ，則ADQP為正方形．∴AQ⊥DP．
又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．∵AQ?平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．
（3）∵EP⊥平面ABCD，∴EP為三棱錐E-AQC的高，
∴VE-AQC=
1
3
S△AQC•EP=
1
3
×
1
2
CQ•AD•EP=
1
6
×1×1×1=
1
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分別是棱BC、AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．
（1）求證：C1E∥平面ADF；
（2）若點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求三棱錐P-EBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中點，求證：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖：已知四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，點E，F(xiàn)分別是線段PB，AD的中點
（1）求證：FE∥平面PCD；
（2）求異面直線DE與AB所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側棱PA上的動點．
（I）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）如果E是PA的中點，求證：PC∥平面BDE；
（Ⅲ）探究：不論點E在側棱PA的任何位置，BD⊥CE是否都成立？若成立，證明你的結論；若不成立，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

下列各圖中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是______

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是BC的中點．
（1）求證：DA⊥平面PAC；
（2）試在線段PD上確定一點G，使CG∥平面PAF，并說明理由．

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