Question

（2011•韶關(guān)模擬）對(duì)函數(shù)f（x）=x•sinx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點(diǎn)（π，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減．其中是真命題的是（　�。�

A．①④

B．②④

C．②③

D．①③

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可證出f（x）是偶函數(shù)，得①正確；通過(guò)舉反例，得到函數(shù)的周期不是2π，故②不正確；利用函數(shù)g（x）=f（x+π）不是奇函數(shù)，得到③不正確； 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，可得④是真命題．由此可得正確答案．

解答：解：對(duì)于①，因?yàn)閒（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），f（x）是偶函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)閒（

π

2

）=

π

2

，f（

5π

2

）=

5π

2

，而f（

π

2

）≠f（

5π

2

），所以函數(shù)的周期不是2π，故②不正確；
對(duì)于③，設(shè)f（x+π）=（x+π）sin（x+π）=g（x），則g（x）=-（x+π）sinx，g（-x）=（-x+π）sinx，不滿足g（-x）=-g（x），
所以g（x）不是奇函數(shù)．因?yàn)間（x）圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）的圖象不可能關(guān)于（π，0）對(duì)稱，故③不正確；
對(duì)于④，因?yàn)閒'（x）=sinx+xcosx，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，
再結(jié)合函數(shù)為R上的偶函數(shù)，可得在區(qū)間[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減，故④正確．
綜上所述，正確的命題是①④
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的函數(shù)，要我們研究該函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和圖象的對(duì)稱性，著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．