已知
分別是橢圓
的左、右頂點,點
在橢圓
上,且直線
與直線
的斜率之積為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)如圖,已知
是橢圓
上不同于頂點的兩點,直線
與
交于點
,直線
與
交于點
.① 求證:
;② 若弦
過橢圓的右焦點
,求直線
的方程.
(Ⅰ)
;(Ⅱ)①見解析;②
.
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點
在橢圓
上,且直線
與直線
的斜率之積為
,列出方程組即可求出
和
;(Ⅱ)①欲證:
,只需證:
,找到這個結論成立的條件,然后證明這些條件滿足即可;②分成
和直線
斜率存在兩種情況,利用
經過
這一條件,把問題變成直線與橢圓的交點,從而可以借助一元二次方程跟與系數(shù)的關系解題.
試題解析:(Ⅰ)由題,
,由點
在橢圓
上知
,則有:
,①
又
, ②
以上兩式可解得
,
.所以橢圓
. 4分
(Ⅱ)① 設
,則直線
:
、直線
:
,
兩式聯(lián)立消去
得:
;
同理:直線
:
、
:
,聯(lián)立得:
. 6分
欲證:
,只需證:
,只需證:
,
等價于:
,
而
,
,所以
,
故有:
. 9分
② (1)當
時,由
可求得:
; 10分
(2)當直線
斜率存在時,設
:
,
由(Ⅱ)知:
,
將
,
代入上式得:
,
解得
,由①知
.
綜合(1) (1),
,故直線
:
. 14分.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的離心率為
,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線
相切,直線
與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;(2)求
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的對稱中心為坐標原點,上焦點為
,離心率
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)設
為
軸上的動點,過點
作直線
與直線
垂直,試探究直線
與橢圓
的位置關系.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設橢圓
的離心率
,
是其左右焦點,點
是直線
(其中
)上一點,且直線
的傾斜角為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)若
是橢圓
上兩點,滿足
,求
(
為坐標原點)面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的四個頂點恰好是一邊長為2,一內角為
的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓
的方程;
(II)直線
與橢圓
交于
,
兩點,且線段
的垂直平分線經過點
,求
(
為原點)面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
橢圓
的一個焦點坐標為
,則其離心率等于 ( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知橢圓的中心在原點,離心率
,且它的一個焦點與拋物線
的焦點重合, 則此橢圓方程為
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
在給定橢圓中,過焦點且垂直于長軸的弦長為
,焦點到相應準線的距離為1,則該橢圓的離心率為( )
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