Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列對(duì)一切均滿足．證明：

（1）；

（2）．

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）作差證明不等式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719073367178240/SYS201411171907497973726761_DA/SYS201411171907497973726761_DA.001.png">，，所以，且．

因此．即.（2）本題證明：用數(shù)學(xué)歸納法，而證明用反證法. ① 當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可知成立；② 假設(shè)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，由（1）得，．由①，②可得，．假設(shè)存在自然數(shù)，使得，則一定存在自然數(shù)，使得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719073367178240/SYS201411171907497973726761_DA/SYS201411171907497973726761_DA.021.png">，，， ，，與題設(shè)矛盾，所以，．若，則，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．

【證明】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719073367178240/SYS201411171907497973726761_DA/SYS201411171907497973726761_DA.029.png">，，與題設(shè)矛盾，所以，．若，則，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．

所以，

所以，且．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719073367178240/SYS201411171907497973726761_DA/SYS201411171907497973726761_DA.038.png">．

所以，

所以，即． 4分

（注：用反證法證明參照給分）

（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

① 當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可知結(jié)論成立；

② 假設(shè)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，由（1）得，．

由①，②可得，． 7分

下面先證明．

假設(shè)存在自然數(shù)，使得，則一定存在自然數(shù)，使得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719073367178240/SYS201411171907497973726761_DA/SYS201411171907497973726761_DA.055.png">，，

， ，，

與題設(shè)矛盾，所以，．

若，則，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．

所以成立． 10分

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法