Question

如圖，在三棱柱中，△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成最大角的正切值為時(shí)，求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

(1)對(duì)于線面的平行的證明，關(guān)鍵是證明∥. （2）

試題分析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、. 
∵為的中點(diǎn)，
∴∥，且.       1分
∵∥，且，∴∥，.        2分
∴四邊形是平行四邊形.  ∴∥.          3分
∵平面，平面，∴∥平面.       4分
（2）解：∵平面，平面， ∴.
∵△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是的中點(diǎn)，∴，.
∵平面，平面，，∴平面.
∴為與平面所成的角.   
∵，在Rt△中，，
∴當(dāng)最短時(shí)，的值最大，則最大.   
∴當(dāng)時(shí)，最大. 此時(shí)，
.∴.
在Rt△中，.
∵Rt△～Rt△，
∴，即.∴.           8分
以為原點(diǎn)，與垂直的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.
∴，，.設(shè)平面的法向量為，由，，令，則.
∴平面的一個(gè)法向量為.       10分
∵平面， ∴是平面的一個(gè)法向量.
∴.                     11分
∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.     12分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了二面角的平面角的求解，以及線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題。