【題目】設函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)證明:當時,.
【答案】(1)見解析 (2)見解析
【解析】
(1)先求函數(shù)定義域,由導數(shù)大于0,得增區(qū)間;導數(shù)小于0,得減區(qū)間;
(2)由題意可得即證lnx<x﹣1<xlnx.由(1)的單調(diào)性可得lnx<x﹣1;設F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,求出單調(diào)性,即可得到x﹣1<xlnx成立;
(1)由題設,的定義域為,
,令,解得.
當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減.
(2)證明:當x∈(1,+∞)時,,即為lnx<x﹣1<xlnx.
由(1)可得f(x)=lnx﹣x+1在(1,+∞)遞減,
可得f(x)<f(1)=0,即有lnx<x﹣1;
設F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,F′(x)=1+lnx﹣1=lnx,
當x>1時,F′(x)>0,可得F(x)遞增,即有F(x)>F(1)=0,
即有xlnx>x﹣1,則原不等式成立;
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在中, , , , 是中點(如圖1).將沿折起到圖2中的位置,得到四棱錐.
(1)將沿折起的過程中, 平面是否成立?并證明你的結(jié)論;
(2)若與平面所成的角為60°,且為銳角三角形,求平面和平面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個不同的動點,且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】按要求寫出下列命題,并判斷真假:
(1)命題:“在中,若則”的逆命題;
(2)命題:“若兩個數(shù)的和為有理數(shù),則這兩個數(shù)都是有理數(shù)。”的否命題;
(3)命題:“若a≠0且b≠0,則ab≠0”的逆否命題;
(4)命題:“a=0或b=0,則a2+b2=0”的逆否命題;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某社區(qū)年輕人的周末生活狀況,研究這一社區(qū)年輕人在周末的休閑方式與性別的關系,隨機調(diào)查了該社區(qū)年輕人80人,得到下面的數(shù)據(jù)表:
(1)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調(diào)查3名在該社區(qū)的年輕男性,設調(diào)查的3人在這一時間段以上網(wǎng)為休閑方式的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認為“周末年輕人的休閑方式與性別有關系”?
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.05 | 0.010 | |
3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. 天氣預報說明天下雨的概率為,則明天一定會下雨
B. 不可能事件不是確定事件
C. 統(tǒng)計中用相關系數(shù)來衡量兩個變量的線性關系的強弱,若則兩個變量正相關很強
D. 某種彩票的中獎率是,則買1000張這種彩票一定能中獎
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)當時,求曲線上的點到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點都在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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