Question

設(shè)二次函數(shù)滿足條件：①；②函數(shù)的圖像與直線相切．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：由的圖象的對稱軸方程是，于是有，依題意，方程組有且只有一解，利用即可求得與，從而得函數(shù)的解析式；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，知在時恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由即可求得答案．
試題解析：（1）由①可知，二次函數(shù)圖像對稱軸方程是，；
又因為函數(shù)的圖像與直線相切，所以方程組有且只有一解，即方程有兩個相等的實根，，
所以，函數(shù)的解析式是．
（2），等價于，
即不等式在時恒成立，
問題等價于一次函數(shù)在時恒成立，
即，
解得：或，
故所求實數(shù)的取值范圍是．
考點：1、函數(shù)恒成立問題；2、二次函數(shù)的性質(zhì)．